两道数学题,求解!~

Connor 欧易交易所 2022-08-18 492 0

  1、设H为三角形ABC的垂心BCH,延长中线AD与三角形BCH的外接圆交于K,证明D是AK中点

如图(左):延长AH交BC于E,交圆于FBCH,连FB,FK

H是垂心--->∠BAE=∠BCH=∠BFEBCH,又AF⊥BC

--->E为AF中点(等腰三角形BAF三线合一)

AK为直径--->FK⊥AF--->FK∥BC--->D为AK中点

2、设ADBCH,BE,CF为三角形ABC的三条高,以BC为直径的圆与AD交于G,过G的直径的另一端点为K,若EK,FK,BC的交点为M,N,证明BN=CM

如图(右):

KG为直径--->∠GEK=90°=∠GDM--->M、D、E、G四点共圆--->∠EMG=∠EDG

AD、BE为高--->A、B、D、E四点共圆--->∠EDG=∠EBF=∠EKF

--->∠EMG=∠EKF--->GM∥FKBCH,同理:GN∥EK--->GNKM为平行四边形

--->GK平分MN--->BN=MCBCH

第一题证明:先证角BHC+角A=180°,从而角BKC=角ABCH。于是△ABC的外接圆与△BHC的外接圆为等圆。设两圆圆心分别为O1,O2,则O1D=O2D,从而可得AD=KD,即D为AK中点。

1、我说下思路BCH,你肯定就可以明白了

有H为垂心BCH,可得角BAC与角BHC互补,而角BHC与角BKC也互补,所以角BAC=角BKC,所以易得三角形BHC,BAC的外接圆半径相等,又BC为它们的公共弦,D为弦的中点,所以两圆关于D中心对称,继而A,K关于D对称,即D为AK的中点!

2、记A,E,F,G,K关于BC(直径)的对称点分别为A',E',F',G',K'BCH,则此点E',F',G',K'也在圆周上,由圆的对称性,可知K'F',K'E'分别过点N,M,而G与K,G'与K'又关于圆心对称,所以M,N也关于圆心对称,即圆心是MN的中点,当然就有BN=CM

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